Binário, decimal, octal e hexadecimal
O computador é uma máquina digital: internamente só existem dois estados elétricos, representados por 0 e 1. Tudo — números, texto, imagens, vídeo — vira sequência de bits.
Entender bases numéricas permite ler endereços de memória, cores em hexadecimal (#FF5733), máscaras de rede, permissões em octal (chmod 755) e depurar programas em baixo nível.
A base é a quantidade de símbolos que um sistema de numeração usa. Cada posição do número representa uma potência da base — é a notação posicional.
| Sistema | Base | Símbolos |
|---|---|---|
| Binário | 2 | 0 1 |
| Octal | 8 | 0 a 7 |
| Decimal | 10 | 0 a 9 |
| Hexadecimal | 16 | 0-9 e A-F |
Usa apenas 0 e 1. Cada dígito é um bit. Cada posição vale uma potência de 2.
| 2⁷ | 2⁶ | 2⁵ | 2⁴ | 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Com n bits representam-se 2n valores diferentes. 8 bits (1 byte) = 256 valores (0 a 255).
Some os pesos das posições onde há 1:
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
128 + 16 + 8 + 2 = 154
Divida o número por 2 sucessivamente, anotando os restos. Quando o quociente chegar a 0, leia os restos de baixo para cima.
Conferindo: 16 + 8 + 1 = 25. ✓
Usa 16 símbolos: 0–9 e A–F (onde A=10, B=11, ... F=15). Cada dígito hexadecimal equivale exatamente a 4 bits (um nibble), o que facilita a leitura de binários longos.
| Dec | Bin | Hex | Dec | Bin | Hex |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 | 8 | 1000 | 8 |
| 1 | 0001 | 1 | 9 | 1001 | 9 |
| 2 | 0010 | 2 | 10 | 1010 | A |
| 3 | 0011 | 3 | 11 | 1011 | B |
| 4 | 0100 | 4 | 12 | 1100 | C |
| 5 | 0101 | 5 | 13 | 1101 | D |
| 6 | 0110 | 6 | 14 | 1110 | E |
| 7 | 0111 | 7 | 15 | 1111 | F |
Como 1 hex = 4 bits, basta agrupar de 4 em 4 (da direita para a esquerda):
É por isso que cores na web usam hex: #FF0000 é vermelho puro — FF (255) de vermelho, 00 de verde, 00 de azul.
Usa os dígitos 0–7. Cada dígito octal equivale a 3 bits. Menos comum hoje, mas ainda usado em permissões de arquivos no Linux.
Para converter binário → octal, agrupe de 3 em 3 bits.
Regras: 0+0=0, 0+1=1, 1+0=1, 1+1=10 (0 com "vai um").
Deslocar todos os bits uma casa à esquerda multiplica por 2 (shift left). Deslocar à direita divide por 2.
| Decimal | Binário | Octal | Hexadecimal |
|---|---|---|---|
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 32 | 100000 | 40 | 20 |
| 100 | 1100100 | 144 | 64 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
| 1024 | 10000000000 | 2000 | 400 |
1) Converta decimal 45 para binário.
2) Converta binário 1101 0110 para hexadecimal.
3) Quanto vale 0x1A em decimal?
Respostas: 1) 101101 2) D6 3) 26 (16 + 10).
Qualquer número em qualquer base b é uma soma de dígitos vezes potências da base. Essa é a definição formal da notação posicional:
Para converter qualquer base → decimal, o método de Horner evita calcular potências: processa-se da esquerda para a direita, multiplicando o acumulado pela base e somando o próximo dígito.
Para decimal → base b, generaliza-se as divisões sucessivas: divide-se por b, anotando os restos, e lê-se de baixo para cima. Vale para octal (÷8), hexadecimal (÷16) e qualquer base.
A parte inteira usa divisões sucessivas; a fracionária usa multiplicações sucessivas pela base. A cada passo, a parte inteira do produto (0 ou 1) é o próximo dígito; repete-se com a parte fracionária restante.
Confira: 0,101 = 1·2−1 + 0·2−2 + 1·2−3 = 0,5 + 0,125 = 0,625. ✓
Cuidado: nem toda fração decimal termina em binário. 0,1(10) vira uma dízima binária infinita (0,0001100110011...). É a raiz matemática do erro de "0,1 + 0,2 ≠ 0,3" em ponto flutuante.
Não é preciso converter para decimal para somar em outra base — basta lembrar que o "vai-um" ocorre ao atingir o valor da base.
Em octal, o vai-um acontece ao chegar a 8; em binário, ao chegar a 2. O raciocínio é sempre o mesmo da soma decimal, mudando apenas o valor em que "estoura" a casa.
O hardware evita um circuito de subtração: ele soma o complemento. Para A − B em n bits, soma-se A ao complemento de 2 de B (inverter os bits e somar 1).
É por isso que o complemento de 2 é o padrão universal: a mesma ULA soma e subtrai, sem circuitos separados nem tratamento especial do sinal.
Às vezes interessa guardar cada dígito decimal separadamente, em 4 bits. É o BCD, usado em calculadoras, mostradores, sistemas financeiros e relógios digitais.
| Número | Binário puro | BCD (dígito a dígito) |
|---|---|---|
| 25 | 0001 1001 | 0010 0101 (2 = 0010, 5 = 0101) |
| 49 | 0011 0001 | 0100 1001 |
Vantagem: evita o erro de arredondamento da conversão binária de frações decimais (importante em dinheiro). Desvantagem: desperdiça espaço — as combinações de 1010 a 1111 não são usadas.
1. Converta 0xC3 para decimal e binário.
2. Converta o decimal 0,375 para binário.
3. Some, em binário, 1011 + 0110.
4. Converta o binário 101110 para octal e hexadecimal.
Toda informação no computador é binária. Decimal é a base humana; binário é a da máquina; octal e hexadecimal são atalhos compactos para ler binário. Saber converter entre elas é essencial em redes, cores, permissões e programação de baixo nível.